Varian dan Standar Deviasi
CHAPTER 11
Varian Dan Standar Deviasi (Simpangan Baku)
Varian dan standar deviasi (simpangan baku) adalah ukuran-ukuran keragaman
(variasi) data statistik yang paling sering digunakan. Standar deviasi (simpangan baku)
merupakan akarkuadrat dari varian.
Jadi jika salah satu nilai dari kedua ukuran tersebut diketahui maka akan diketahui juga nilai
ukuran yang lain.
Penghitungan
Dasar penghitungan varian dan standar deviasi adalah keinginan untuk mengetahui
keragaman suatu kelompok data. Salah satu cara untuk mengetahui keragaman suatu
kelompok data adalah dengan mengurangi setiap nilai data dengan rata-rata kelompok data
tersebut, kemudian semua hasilnya dijumlahkan.
Namun cara seperti itu tidak bisa digunakan karena hasilnya akan selalu menjadi 0.
Oleh karena itu, solusi agar nilainya tidak menjadi 0 adalah dengan mengkuadratkan setiap
pengurangan nilai data dan rata-rata kelompok data tersebut, kemudian dilakukan
penjumlahan. Hasil penjumlahan kuadrat (sum of squares) tersebut akan selalu bernilai
positif.
Nilai varian diperoleh dari pembagian hasil penjumlahan kuadrat (sum of squares) dengan
ukuran data (n).
Namun begitu, dalam penerapannya, nilai varian tersebut bias untuk menduga varian
populasi. Dengan menggunakan rumus tersebut, nilai varian populasi lebih besar dari varian
sampel.
Oleh karena itu, agar tidak bias dalam menduga varian populasi, maka n sebagai pembagi
penjumlahan kuadrat (sum of squares) diganti dengan n-1 (derajat bebas) agar nilainya
menjadi lebih besar dan mendekati varian populasi. Oleh karena itu rumus varian menjadi :
Nilai varian yang dihasilkan merupakan nilai yang berbentuk kuadrat. Jika satuan nilai rata-
rata adalah gram, maka nilai varian adalah gram kuadrat. Untuk menyeragamkan nilai
satuannya maka varian diakarkuadratkan sehingga hasilnya adalah standar deviasi
(simpangan baku).
Untuk mempermudah penghitungan, rumus varian dan standar deviasi (simpangan baku)
tersebut bisa diturunkan :
Rumus varian :
Rumus standar deviasi (simpangan baku) :
Contoh Penghitungan
Misalkan dalam suatu kelas, tinggi badan beberapa orang siswa yang dijadikan sampel adalah
sebagai berikut.
172, 167, 180,170, 169, 160, 175, 165, 173, 170
Dari data tersebut dapat dihitung varian dengan menggunakan rumus varian di atas.
Dari penghitungan, diperoleh nilai varian sama dengan 30,22.
Dari nilai tersebut bisa langsung diperoleh nilai standar deviasi (simpangan baku) dengan
cara mengakarkuadratkan nilai varian.
Keterangan:
s 2 = varian
s = standar deviasi (simpangan baku)
xi = nilai x ke-i
= rata-rata
n = ukuran sampel
Dispersi (Ukuran Penyebaran Data)
Dispersi / Ukuran penyebaran Data adalah suatu ukuran baik parameter atau statistika
untuk mengetahui seberapa besar penyimpangan data. Melalui ukuran penyebaran dapat
diketahui seberapa jauh data-data menyebar dari titik pemusatannya/ suatu kelompok data
terhadap pusat data.Ukuran ini kadang – kadang dinamakan pula ukuran variasi yang
mnggambarkan berpencarnya data kuantitatif. Beberapa ukuran dispersi yang terkenal dan
akan diuraikan disini ialah : Rentang, Rentang natar kuartil, simpangan kuartil/deviasi kuartil,
rata-rata simpangan/rata-rata deviasi, simpangan baku atau standar deviasi, variansi dan
koefisien variansi, jangkauan kuartil, dan jangkauan persentil.
Rentang (range)
Rentang (Range) dinotasikan sebagai R, menyatakan ukuran yang menunjukkan
selisih nilai antara maksimum dan minimum atau selisih bilangan terbesar dengan bilangan
terkecil.
Rentang merupakan ukuran penyebaran yang sangat kasar, sebab hanya
bersangkutan dengan bilangan terbesar dan terkecil.Semakin kecil nilai R maka kualitas data
akan semakin baik, sebaliknya semakin besar nilai R, maka kualitasnya semakin tidak baik.
Rentang cukup baik digunakan untuk mengukur penyebaran data yang simetrik dan
nilai datanya menyebar merata. Ukuran ini menjadi tidak relevan jika nilai data maksimum
dan minimumnya merupakan nilai ekstrim.
Rentang = Xmax – Xmin,
Xmax adalah data terbesar dan Xmin adalah data terkecil.
Deviasi Rata-rata : penyebaran Berdasarkan harga mutlak simpangan bilangan-
bilangan terhadap rata-ratanya. Makin besar simpangan, makin besar nilai deviasi rata-rata.
Varians : penyebaran berdasarkan jumlah kuadrat simpangan bilangan-bilangan
terhadap rata-ratanya ; melihat ketidaksamaan sekelompok data
Deviasi Standar : penyebaran berdasarkan akar dari varians dan menunjukkan
keragaman kelompok data
Pengolahan Data Secara Manual
Mengolah data dengan perhitungan manual. Berikut ini akan kami berikan satu contoh
data mentah atau data belum dikelompokkan agar bisa kita pahami bersama. Data sekunder
ini kami dapatkan dari Buku Statistika yang berjudul Analisis Statistika karya Purbayu Budi
Santosa. Dalam bukunya Diketahui data mentahnya sebagai berikut:
Contoh berikut adalah data penjualan komputer per- 10 bulan pada tahun 2010 di
toko komputer KOMPISHOP
Tabel II.1 Penjualan Komputer per- 10 bulan
63 68 71 74 76 78 81 84 85 89
66 70 73 75 76 79 82 84 85 90
67 71 73 75 76 79 82 85 86 92
68 71 74 75 77 79 84 85 86 94
Simpangan rata- rata
1) Simpangan rata-rata data tunggal
Simpangan rata-rata data tunggal dirumuskan sebagai berikut.
X = 78,2
SR = 1 /40 ∑|63-78,2| + |66 – 78,2| + |67-78,2| +2 |68 – 78,2| + |70 – 78,2 | + 3 |71 -78,2|
+ 2 | 73 -78,2 | + 2 |74 – 78,2| + 3 |75 -78,2| + 3 |76- 78,2| + |77 – 78,2 | + |78-78,2|
+ 3 |79 – 78,2| + |81 – 78,2| + 2 |82 – 78,2| + 3 84-78,2| + 4 |85- 78,2| + 2 |86-78,2|
+ |89-78,2| + |90-78,2| + |92-78,2| + |94-78,2|
SR = 1/40∑ |-15,2| + |-12,2| + |-11,2| + 2 |-10,2| + |-8,2| + 3 | -7,2| + 2 |-5,2|+ 2|-4,2| + 3 |
-3,2| +3 |-2,2| + |-1,2| + |-0,2| + 3 |0,8| +|2,8| + 2 |3,8| + 3 |5,8| + 4 |6,8| + 2 |
7,8| + |10,8| + |11,8| + | 13,8| + |15,8|
SR =1/40 ∑ 15,2 +12,2 + 11,2 + 2 (10,2) + 8,2 + 3 (7,2) + 2 (5,2)+ 2(4,2) + 3(3,2) +
3 (2,2) + 1,2 + 0,2 + 3 (0,8) +2,8 + 2 (3,8) + 3 (5,8) + 4 (6,8) + 2(7,8) + 10,8
+ 11,8 + 13,8 + 15,
SR = 1/40 ∑ 15,2 +12,2 + 11,2 + 20,4 + 8,2 + 21,6 + 10,4+ 8,4 + 9,6 +6,6 + 1,2 + 0,2 +
2,4+2,8 + 7,6 + 17,4 + 27,2 + 15,6 + 10,8 + 11,8 + 13,8 + 15,8
SR = 1/40 x 250,4
SR = 6,26
VARIANS
Keterangan:
Keterangan :
: data ke-I, : rata-rata, s²: ragam n : ukuran sampel
sampel
= 1/40-1 ∑ (-15,2) +(-12,2) + (-11,2 ) + 2 (-10,2) +(- 8,2 ) + 3 (-7,2) + 2 (-
5,2) + 2(-4,2) + 3(-3,2) + 3 (-2,2) + (-1,2) + (-0,2) + 3 (0,8) +(2,8) + 2 (3,8)
+ 3 (5,8) + 4 (6,8) + 2(7,8) + (10,8) + (11,8) + (13,8) +( 15,8)
s = 1/39 X 231,04 + 148,84 + 125,44 + 2(104,04) + 67,24 + 3(51,84) + 2(27,04) + 2(17,64)
+ 3(10,24) + 3(4,84) + 1,44 + 0,04 + 3(0,64) + 7,84 + 2(14,44) + 3(33,64) + 4(46,24) +
2(60,84) + 116,64 + 139,24 + 190,44 + 249,64
S= 1/39 X 231,04 + 148,84 + 125,44 + 208,08 + 67,24 + 155,52 + 54,08 + 35,28 + 30,72 +
14,52 + 1,44 + 0,04 + 1,92 + 7,84 + 28,88 + 100,92 + 184,96 + 121,68 + 116,64 + 139,24 +
190,44 + 249,64
S = 1/39 (2214,4)
S = 56,7794
SIMPANGAN BAKU
S = = 7,53
Jangkauan kuartil
Disebut juga Simpangan kuartil / rentang semi antar kuartil / deviasi kuartil yaitu setengah
dari selisih antara kuartil atas (Q 3 ) dengan kuartil bawah (Q 1 ).
Dengan Rumus :
JK = ½ (Q 3 – Q 1 )
Keterangan :
Q 1 = Kuartil pertama
Q 3 = Kuartil ketiga
Q i = i ( n + 1 ) /4
Q 1 = 1 ( 40 + 1 ) /4
= 1 ( 41) /4
= 41 / 4
= 10,25
X10 + 0,25 ( X11 – X10 )
73 + 0,25 ( 73 – 73 )
73 + 0,25 ( 0 ) = 73
Q3 = 3 (40 + 1) /4
= 3(41) / 4
= 30,,75
X30+0,75 (X31-X30)
84 + 0,75 ( 85 – 84 )
84 + 0,75 (1)
84,75
Jk = ½ ( 84,75 – 73 )
= ½ (11,75)
= 5,875
Varian Dan Standar Deviasi (Simpangan Baku)
Varian dan standar deviasi (simpangan baku) adalah ukuran-ukuran keragaman
(variasi) data statistik yang paling sering digunakan. Standar deviasi (simpangan baku)
merupakan akarkuadrat dari varian.
Jadi jika salah satu nilai dari kedua ukuran tersebut diketahui maka akan diketahui juga nilai
ukuran yang lain.
Penghitungan
Dasar penghitungan varian dan standar deviasi adalah keinginan untuk mengetahui
keragaman suatu kelompok data. Salah satu cara untuk mengetahui keragaman suatu
kelompok data adalah dengan mengurangi setiap nilai data dengan rata-rata kelompok data
tersebut, kemudian semua hasilnya dijumlahkan.
Namun cara seperti itu tidak bisa digunakan karena hasilnya akan selalu menjadi 0.
Oleh karena itu, solusi agar nilainya tidak menjadi 0 adalah dengan mengkuadratkan setiap
pengurangan nilai data dan rata-rata kelompok data tersebut, kemudian dilakukan
penjumlahan. Hasil penjumlahan kuadrat (sum of squares) tersebut akan selalu bernilai
positif.
Nilai varian diperoleh dari pembagian hasil penjumlahan kuadrat (sum of squares) dengan
ukuran data (n).
Namun begitu, dalam penerapannya, nilai varian tersebut bias untuk menduga varian
populasi. Dengan menggunakan rumus tersebut, nilai varian populasi lebih besar dari varian
sampel.
Oleh karena itu, agar tidak bias dalam menduga varian populasi, maka n sebagai pembagi
penjumlahan kuadrat (sum of squares) diganti dengan n-1 (derajat bebas) agar nilainya
menjadi lebih besar dan mendekati varian populasi. Oleh karena itu rumus varian menjadi :
Nilai varian yang dihasilkan merupakan nilai yang berbentuk kuadrat. Jika satuan nilai rata-
rata adalah gram, maka nilai varian adalah gram kuadrat. Untuk menyeragamkan nilai
satuannya maka varian diakarkuadratkan sehingga hasilnya adalah standar deviasi
(simpangan baku).
Untuk mempermudah penghitungan, rumus varian dan standar deviasi (simpangan baku)
tersebut bisa diturunkan :
Rumus varian :
Rumus standar deviasi (simpangan baku) :
Contoh Penghitungan
Misalkan dalam suatu kelas, tinggi badan beberapa orang siswa yang dijadikan sampel adalah
sebagai berikut.
172, 167, 180,170, 169, 160, 175, 165, 173, 170
Dari data tersebut dapat dihitung varian dengan menggunakan rumus varian di atas.
Dari penghitungan, diperoleh nilai varian sama dengan 30,22.
Dari nilai tersebut bisa langsung diperoleh nilai standar deviasi (simpangan baku) dengan
cara mengakarkuadratkan nilai varian.
Keterangan:
s 2 = varian
s = standar deviasi (simpangan baku)
xi = nilai x ke-i
= rata-rata
n = ukuran sampel
Dispersi (Ukuran Penyebaran Data)
Dispersi / Ukuran penyebaran Data adalah suatu ukuran baik parameter atau statistika
untuk mengetahui seberapa besar penyimpangan data. Melalui ukuran penyebaran dapat
diketahui seberapa jauh data-data menyebar dari titik pemusatannya/ suatu kelompok data
terhadap pusat data.Ukuran ini kadang – kadang dinamakan pula ukuran variasi yang
mnggambarkan berpencarnya data kuantitatif. Beberapa ukuran dispersi yang terkenal dan
akan diuraikan disini ialah : Rentang, Rentang natar kuartil, simpangan kuartil/deviasi kuartil,
rata-rata simpangan/rata-rata deviasi, simpangan baku atau standar deviasi, variansi dan
koefisien variansi, jangkauan kuartil, dan jangkauan persentil.
Rentang (range)
Rentang (Range) dinotasikan sebagai R, menyatakan ukuran yang menunjukkan
selisih nilai antara maksimum dan minimum atau selisih bilangan terbesar dengan bilangan
terkecil.
Rentang merupakan ukuran penyebaran yang sangat kasar, sebab hanya
bersangkutan dengan bilangan terbesar dan terkecil.Semakin kecil nilai R maka kualitas data
akan semakin baik, sebaliknya semakin besar nilai R, maka kualitasnya semakin tidak baik.
Rentang cukup baik digunakan untuk mengukur penyebaran data yang simetrik dan
nilai datanya menyebar merata. Ukuran ini menjadi tidak relevan jika nilai data maksimum
dan minimumnya merupakan nilai ekstrim.
Rentang = Xmax – Xmin,
Xmax adalah data terbesar dan Xmin adalah data terkecil.
Deviasi Rata-rata : penyebaran Berdasarkan harga mutlak simpangan bilangan-
bilangan terhadap rata-ratanya. Makin besar simpangan, makin besar nilai deviasi rata-rata.
Varians : penyebaran berdasarkan jumlah kuadrat simpangan bilangan-bilangan
terhadap rata-ratanya ; melihat ketidaksamaan sekelompok data
Deviasi Standar : penyebaran berdasarkan akar dari varians dan menunjukkan
keragaman kelompok data
Pengolahan Data Secara Manual
Mengolah data dengan perhitungan manual. Berikut ini akan kami berikan satu contoh
data mentah atau data belum dikelompokkan agar bisa kita pahami bersama. Data sekunder
ini kami dapatkan dari Buku Statistika yang berjudul Analisis Statistika karya Purbayu Budi
Santosa. Dalam bukunya Diketahui data mentahnya sebagai berikut:
Contoh berikut adalah data penjualan komputer per- 10 bulan pada tahun 2010 di
toko komputer KOMPISHOP
Tabel II.1 Penjualan Komputer per- 10 bulan
63 68 71 74 76 78 81 84 85 89
66 70 73 75 76 79 82 84 85 90
67 71 73 75 76 79 82 85 86 92
68 71 74 75 77 79 84 85 86 94
Simpangan rata- rata
1) Simpangan rata-rata data tunggal
Simpangan rata-rata data tunggal dirumuskan sebagai berikut.
X = 78,2
SR = 1 /40 ∑|63-78,2| + |66 – 78,2| + |67-78,2| +2 |68 – 78,2| + |70 – 78,2 | + 3 |71 -78,2|
+ 2 | 73 -78,2 | + 2 |74 – 78,2| + 3 |75 -78,2| + 3 |76- 78,2| + |77 – 78,2 | + |78-78,2|
+ 3 |79 – 78,2| + |81 – 78,2| + 2 |82 – 78,2| + 3 84-78,2| + 4 |85- 78,2| + 2 |86-78,2|
+ |89-78,2| + |90-78,2| + |92-78,2| + |94-78,2|
SR = 1/40∑ |-15,2| + |-12,2| + |-11,2| + 2 |-10,2| + |-8,2| + 3 | -7,2| + 2 |-5,2|+ 2|-4,2| + 3 |
-3,2| +3 |-2,2| + |-1,2| + |-0,2| + 3 |0,8| +|2,8| + 2 |3,8| + 3 |5,8| + 4 |6,8| + 2 |
7,8| + |10,8| + |11,8| + | 13,8| + |15,8|
SR =1/40 ∑ 15,2 +12,2 + 11,2 + 2 (10,2) + 8,2 + 3 (7,2) + 2 (5,2)+ 2(4,2) + 3(3,2) +
3 (2,2) + 1,2 + 0,2 + 3 (0,8) +2,8 + 2 (3,8) + 3 (5,8) + 4 (6,8) + 2(7,8) + 10,8
+ 11,8 + 13,8 + 15,
SR = 1/40 ∑ 15,2 +12,2 + 11,2 + 20,4 + 8,2 + 21,6 + 10,4+ 8,4 + 9,6 +6,6 + 1,2 + 0,2 +
2,4+2,8 + 7,6 + 17,4 + 27,2 + 15,6 + 10,8 + 11,8 + 13,8 + 15,8
SR = 1/40 x 250,4
SR = 6,26
VARIANS
Keterangan:
Keterangan :
: data ke-I, : rata-rata, s²: ragam n : ukuran sampel
sampel
= 1/40-1 ∑ (-15,2) +(-12,2) + (-11,2 ) + 2 (-10,2) +(- 8,2 ) + 3 (-7,2) + 2 (-
5,2) + 2(-4,2) + 3(-3,2) + 3 (-2,2) + (-1,2) + (-0,2) + 3 (0,8) +(2,8) + 2 (3,8)
+ 3 (5,8) + 4 (6,8) + 2(7,8) + (10,8) + (11,8) + (13,8) +( 15,8)
s = 1/39 X 231,04 + 148,84 + 125,44 + 2(104,04) + 67,24 + 3(51,84) + 2(27,04) + 2(17,64)
+ 3(10,24) + 3(4,84) + 1,44 + 0,04 + 3(0,64) + 7,84 + 2(14,44) + 3(33,64) + 4(46,24) +
2(60,84) + 116,64 + 139,24 + 190,44 + 249,64
S= 1/39 X 231,04 + 148,84 + 125,44 + 208,08 + 67,24 + 155,52 + 54,08 + 35,28 + 30,72 +
14,52 + 1,44 + 0,04 + 1,92 + 7,84 + 28,88 + 100,92 + 184,96 + 121,68 + 116,64 + 139,24 +
190,44 + 249,64
S = 1/39 (2214,4)
S = 56,7794
SIMPANGAN BAKU
S = = 7,53
Jangkauan kuartil
Disebut juga Simpangan kuartil / rentang semi antar kuartil / deviasi kuartil yaitu setengah
dari selisih antara kuartil atas (Q 3 ) dengan kuartil bawah (Q 1 ).
Dengan Rumus :
JK = ½ (Q 3 – Q 1 )
Keterangan :
Q 1 = Kuartil pertama
Q 3 = Kuartil ketiga
Q i = i ( n + 1 ) /4
Q 1 = 1 ( 40 + 1 ) /4
= 1 ( 41) /4
= 41 / 4
= 10,25
X10 + 0,25 ( X11 – X10 )
73 + 0,25 ( 73 – 73 )
73 + 0,25 ( 0 ) = 73
Q3 = 3 (40 + 1) /4
= 3(41) / 4
= 30,,75
X30+0,75 (X31-X30)
84 + 0,75 ( 85 – 84 )
84 + 0,75 (1)
84,75
Jk = ½ ( 84,75 – 73 )
= ½ (11,75)
= 5,875
0 komentar:
Posting Komentar