FUNGSI NON LINIEAR

Pertemuan 6

BAB VI

FUNGSI NON LINIEAR

a.       Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat atau fungsi berderajat dua adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat 2. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah y = a + bx + cx2, c ≠ 0. Gambar dari suatu fungsi kuadrat dapat berupa salah satu dari empat kemungkinan bentuk potongan kerucut: Lingkaran, elips, hiperbola atau parabola.

1.1 Identifikasi Persamaan Kuadrat

Mengingat pangkat dua dalam suatu persamaan kuadrat sesungguhnya dapat terletak pada baik variabel x maupun variable y, bahkan pada suku  xy (jika ada), maka bentuk yang lebih umum untuk suatu persamaan kuadrat ialah:

ax2 + pxy + by2 + cx + dy + e = 0

                        (Setidak-tidaknya salah satu a atau b tidak sama dengan 0)

Dari bentuk yang lebih umum ini, dapat diidentifikasikan gambar atau kurva dari persamaannya yakni sebagai berikut:

Jika p = 0 dan a = b ≠ 0, kurvanya sebuah lingkaran

Jika p2 – 4 ab < 0, kurvanya sebuah elips

Jika p2 – 4 ab > 0, kurvanya sebuah hiperbola

Jika p2 – 4 ab = 0, kurvanya sebuah parabola

Apabila p = 0, dengan kata lain dalam persamaan kuadrat tersebut tidak terdapat suku yang mengandung xy, bentuk yang lebih umum tadi “berkurang” menjadi

ax2 + by2 + cx + dy + e = 0                                                                   

Berdasarkan bentuk dengan kasus khusus ini, identifikasinya menjadi sebagai berikut:

Jika a = b ≠ 0, kurvanya sebuah lingkaran

Jika a ≠ b, tetapi bertanda sama, kurvanya sebuah elips

Jika a dan b berlawanan tanda, kurvanya sebuah hiperbola

Jika a = 0 atau b = 0, tetapi tidak keduanya, kurvanya sebuah parabola

Subsidi yang diberikan atas produksi/penjualan suatu barang menyebabkan harga jual barang tersebut menjadi lebih rendah. Jika produk dikenakan subsidi s per unit, maka akan terjadi penurunan harga produk sehingga keseimbangan pasar atas produk tersebut juga akan bergeser. Jika sebelum pajak persamaan penawarannya P = a + bQ, maka sesudah pajak ia akan menjadi P = a + bQ – s Bagian subsidi yang dinikmati oleh konsumen :   sk =  Pe – Pe‘

Bagian subsidi yang dinikmati oleh produsen :    sp =  s – sk

Jumlah subsidi yang dibayarkan oleh pemeri

B.     FUNGSI PANGKAT TIGA

 Y = a0 + a1X + a2X2 + a3X3

Fungsi polinomial pangkat tiga dengan satu variabel bebas disebut fungsi kubikurva mempunyai dua lengkungan (concave yaitu lengkungan ke atas dan lengkungan ke bawah bentuk umum 

y = a0 + a1X + a2X2 + a3X3ntah :    S  =  s x Qe‘

1.2 Lingkaran

Secara geometris, suatu lingkaran merupakan tempat atau lokus titik-titik dalam suatu bidang datar, dengan jarak yang tetap (fixed distance) dari suatu titik pusat (center), jarak titik-titik dari pusat merupakan radius dari lingkaran yang disebut jari-jari lingkaran (r). Bentuk umum persamaan suatu lingkaran adalah sebagai berikut:

ax2 + by2 + cx + dy + e = 0

                                                (a  = b)

Pusat dan jari-jari lingkaran dapat dicari dengan cara memanipulasi persamaan umumnya dengan sedemikian rupa, sehingga pada akhirnya diperoleh bentuk baku rumus lingkaran. Bentuknya yaitu:

(x – i)2 + (y – j)2 =  r2

dimana i dan j merupakan titik pusat lingkaran dan r merupakan jari-jari

 lingkaran.

Contoh soal:

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran 3x2 + 3y2 – 24x – 18y – 33 = 0. Tentukan juga perpotongannya pada masing-masing sumbu koordinat.

: 33x2 + 3y2 – 24x – 18y  = 33 x2 + y2 – 8x – 6y = 11x2 – 8x + y2 – 6y = 11

x2 – 8x + k1 + y2 – 6y + k2 = 11 + k1 + k2 (x2 – 8x + k)  + (y2 – 6y + k2) = 11 + k1 + k2(x2 – 8x + 16)  + (y2 – 6y + 9) = 11 + 16 + 9 (x – 4) 2  + (y – 3) 2 = 62 i  j r2

Pusat lingkarannya adalah titik (4,3), jari-jari = 6. dengan rumus abc diperoleh     x = 9,19 dan x2 =  –1,19 Perpotongan dengan sumbu –x : y = 0 3x2 – 24x – 33 = 0 x2 – 8x – 11 = 0 dengan rumus abc diperoleh     y = 7,47 dan y2 =  –1,47 Perpotongan dengan sumbu –y : x = 0  3y2 – 18y – 33 = 0            y2 – 6y – 11 = 1

Jadi, lingkaran tersebut memomtong sumbu –x pada posisi x = 9,19 dan x = –1,19  serta memotong sumbu –y pada kedudukan y = 7,47 dan y=1,4

C.     Elips

Elips ialah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua fokus selalu konstan. Sebuah elips mempunyai dua sumbu simetri yang saling tegak lurus; yang panjang disebut sumbu mayor, sedangkan yang pendek disebut sumbu minor. Fokus elips ialah sembarang titik yang terletak pada sumbu elips. Titik potong antara sumbu-sumbu sebuah elips merupakan pusat elips yang bersangkutan.

Bentuk umum persamaan elips yaitu: ax2 + by2 + cx + dy + e = 0 a standar tetapi tidak sama besar dengan b Pusat dan jari-jari elips data dicari dengan cara memanipulasi persamaan umumnya sedemikian rupa, sehingga, pada akhirnya diperoleh bentuk baku rumus elips yaitu: (x – i)2 + (y – j)2 = 1

                         r12                 r22   

dimana i dan j mencerminkan koordinat pusat elips serta r, dan r2 adalah jari-jarinya. Patut dicatat bahwa jari-jari panjang = setengah sumbu mayor, sedangkan jari-jari pendek = setengah sumbu minor.

Selain berbentuk fungsi linier, permintaan dan penawaran dapat pula berbentuk fungsi non linier. Fungsi permintaan dan fungsi penawaran yang kuadratik dapat berupa potongan lingkaran, potongan elips, potongan hiperbola maupun potongan parabola. Cara menganalisis keseimbangan pasar untuk permintaan dan penawaran yang non linier sama seperti halnya dalam kasus yang linier. Keseimbangan pasar ditunjukkan oleh kesamaan Qd = Qs, pada perpotongan kurva permintaan dan kurva penawaran.