PENERAPAN KALKULUS DIFFEREN : FUNGSI DENGAN VARIABLE BEBAS

Pertemuan 11

BAB XI

PENERAPAN KALKULUS DIFFEREN : FUNGSI DENGAN VARIABLE BEBAS

A. Definisi Elastisitas
                Elastisitas (pemuluran) adalah pengaruh perubahan harga terhadap jumlah barang yang diminta atau yang ditawarkan. Dengan kata lain elastisitas adalah tingkat kepekaan (perubahan) suatu gejala ekonomi terhadap perubahan gejala ekonomi yang lain.Elastisitas terbagi dalam tiga macam, yaitu sebagai berikut.

a. Elastisitas harga (price elasticity) yaitu persentase perubahan jumlah barang yang diminta atau yang ditawarkan, yang disebabkan oleh persentase perubahan harga barang tersebut.
b. Elastisitas silang (cross elasticity) adalah persentase perubahan jumlah barang x yang diminta, yang disebabkan oleh persentase perubahan harga barang lain (y).
c. Elastisitas pendapatan (income elasticity) yaitu persentase perubahan permintaan akan suatu barang yang diakibatkan oleh persentase perubahan pendapatan (income) riil konsumen.

B. Elastisitas Permintaan
                Elastisitas permintaan (elasticity of demand) adalah pengaruh perubahan harga terhadap besar kecilnya jumlah barang yang diminta atau tingkat kepekaan perubahan jumlah barang yang diminta terhadap perubahan harga barang. Sedangkan besar kecilnya perubahan tersebut dinyatakan dalam koefisien elastisitas atau angka elastisitas yang disingkat E, yang dinyatakan dengan rumus berikut ini.

Keterangan:
                                ΔQ : perubahan jumlah permintaan
                                ΔP : perubahan harga barang
                                P : harga mula-mula
                                Q : jumlah permintaan mula-mula
                                Ed : elastisitas permintaa
Contoh:
Pada saat harga Rp400,00 jumlah barang yang diminta 30 unit, kemudian harga turun menjadi Rp360,00 jumlah barang yang diminta 60 unit. Hitunglah besar koefisien elastisitasnya!

Jawab:

a. Macam-Macam Elastisitas Permintaan
Elastisitas permintaan terdiri atas lima macam.

Keterangan:
                % ΔQd = Persentase perubahan jumlah barang yang diminta
                % ΔPd = Persentase perubahan harga barang

b. Kurva Elastisitas Permintaan

Kurva Elastisitas Permintaan

c. Menghitung Elastisitas Permintaan secara Matematis

Dari rumus elastistas:

menunjukkan, bahwa:

adalah turunan pertama dari Q atau Q1.

Contoh 1:
                Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Q = 50 – -P. Tentukan besar elastisitas permintaan pada tingkat harga P = 80!
Jawab:
Jika P = 80, maka Q = 50 – 1/2 (80)
Q = 50 – 40
Q = 10

Contoh 2:
                Diketahui fungsi permintaan P = 100 – 2Q. Hitung elastisitas permintaan pada tingkat harga P = 50!

Jawab:

C. Elastisitas Penawaran
       Elastisitas penawaraan (elasticity of supply) adalah pengaruh perubahan harga terhadap besar kecilnya jumlah barang yang ditawarkan atau tingkat kepekaan perubahan jumlah barang yang ditawarkan terhadap perubahan harga barang. Adapun yang dimaksud koefisien elastisitas penawaran adalah angka yang menunjukkan perbandingan antara perubahan jumlah barang yang ditawarkan dengan perubahan harganya. Besar kecilnya koefisien elastisitas penawaran dapat dihitung dapat dengan rumus sebagai berkut.

                Keterangan:
                                ΔQ : perubahan jumlah penawaran
                                ΔP : perubahan harga barang
                                P : harga barang mula-mula
                                Q : jumlah penawaran mula-mula
                                Es : elastisitas penawaran

Contoh:
                Pada saat harga Rp500,00 jumlah barang yang ditawarkan 40 unit, kemudian harga turun menjadi Rp300,00 jumlah barang yang ditawarkan 32 unit. Hitunglah besarnya koefisien elastisitas penawarannya!

Jawab:

a.       Macam-MacamElastisitasPenawaran
Seperti halnya elastisitas permintaan, elastisitas penawaran juga terdapat lima macam, yaitu:

                Keterangan:
                                % ΔQs : Persentase perubahan jumlah barang yang ditawarkan
                                % ΔPs : Persentase perubahan harga barang

b. Kurva Elastisitas Penawaran

C. Kurva Elastisitas Penawaran

Cara praktis menentukan besarnya elastisitas tanpa mencari turunan Q atau Q1, yaitu:

1) Jika persamaan fungsi menunjukkan P = a – bQ (fungsi permintaan) dan P = a + bQ (fungsi Penawaran), maka rumus elastisitasnya adalah sebagai berikut.

Contoh 1:
Diketahui fungsi permintaan P = 100 – 2Q. Hitung elastisitas permintaan pada tingkat harga P = 50!

Jawab:
Dengan cara biasa Jika P = 50, maka 

50 = 100 – 2Q
2Q = 50
Q = 25

Contoh 2:
Diketahui fungsi penawaran P = 100 + 2Q. Hitunglah elastisitas penawaran pada tingkat harga P = 500!

Jawab:
 Dengan cara biasa Jika P = 500, maka 

500 = 100 + 2Q
-2Q = -400
Q = 200

Contoh 3:
Diketahui Fungsi penawaran P = -100 + 2Q. Hitung elastisitas penawaran pada tingkat harga P = 400!

Jawab:
Dengan cara biasa Jika P = 400, maka 

400 = -100 + 2Q
-2Q = -500
Q = 250

D. FUNGSI BIAYA

Fungsi biaya merupakan hubungan antara biaya dengan jumlah produksi yang dihasilkan, fungsi biaya dapat digambarkan ke dalam kurva dan kurva biaya menggambarkan titik-titik kemungkinan bsarnya biaya di berbagai tingkat produksi. Dalam membicarakan biaya ada beberapa macam biaya, yaitu:
a. Biaya Total ( Total Cost = TC = C)
b. Biaya Variabel (Variable Cost = VC)
c. Biaya Tetap (Fixed Cost = FC)
d. Biaya Total Rata-Rata (Average Total Cost = AC)
e. Biaya Variabel Rata Rata ( Average Variable Cost = AVC)
f. Biaya Tetap Rata-Rata (Average Fixed Cost = AFC)
g. Biaya Marginal

Rumus :
1. C = AC x Q  atau C = FC + VC
2. FC = AFC X Q
3. VC = AVC  X Q

Biaya Total →   C = f (Q)

Biaya Marginal : MC ≈ C’ ≈   = f’ (Q)

Biaya total tak lain adalah Integral dari biaya marginal

C = ∫ MC d Q = ∫ f’ (Q) d Q

Contoh Soal:

Biaya marjinal suatu perusahaan ditunjukkan oleh MC = 3Q² – 6Q + 4 . Carilah persamaan biaya total dan biaya rata-ratanya.

Biaya Total :  C =∫ MC d Q

                            = ∫ (3Q² – 6Q + 4) d Q

                            =  Q³ - 3Q² + 4Q + k

Biaya rata-rata: AC =   → = Q² – 3Q + 4 + 

C = Q³ – 3 Q² + 4Q + 4

AC = Q² – 3Q + 4 + 

E.   FUNGSI PENERIMAAN

Penerimaan Total  : R = f (Q)

Penerimaan Marjinal         :  MR = R’ ≈   = f’ (Q)

Penerimaan total tak lain adalah Integral dari penerimaan marjinal

C = ∫ MR d Q = ∫ f’ (Q) d Q

Contoh Soal:

Carilah persamaan penrimaan total dari penerimaan rata-rata dari perusahaan  jika penerimaan marjinalnya MR = 16 – 4Q

Penerimaan Total  : R  = ∫ MR d Q

                                                       = ∫ (16 – 4Q) d Q

                                                       = 16 Q – 2 Q²

                Penerimaan rata-rata          : AR =   = 16 - 2Q

Dalam persamaan penerimaan total konstanta k = 0, sebab penerimaan akan ada jika tak ada barang yang dihasilkan atau terjual.

Fungsi Biaya Fungsi adalah suatu persamaan yang mempunyai dua variabel atau lebih di mana variabel yang satu mempunyai hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) dengan variabel yang lainnya. Fungsi dibentuk oleh beberapa unsur. Unsur-unsur pembentuk fungsi adalah variabel, koefisien dan konstanta. Variabel dan koefisien akan selalu ada dalam setiap fungsi, tetapi tidak demikian halnya dengan konstanta. Fungsi mungkin juga memiliki konstanta dan mungkin juga tidak. Tetapi walaupun suatu persamaan tersebut tidak memiliki konstanta tidaklah mengurangi artinya sebagai fungsi.11 Biaya dalam ilmu ekonomi adalah nilai dari faktor-faktor produksi yang dipergunakan untuk menghasilkan barang dan jasa. Dalam hal penggunaan faktor-faktor produksi perusahaan memerlukan pengeluaran yang disebut dengan biaya produksi, sebagai pengorbanan untuk mendapatkan output yang diinginkan. Biaya merupakan faktor utama dalam menentukan jumlah barang atau jasa yang akan dijual.

Laba atau keuntungan adalah nilai penerimaan total perusahaan dikurangi biaya total yang dikeluarkan perusahaan. Jika laba dinotasikan , pendapatan total sebagai , dan biaya total adalah maka

Perusahaan dikatakan memperoleh laba kalau nilai positif di mana Laba maksimum (maximum profit) tercapai bila nilai mencapai maksimum. Ada 3 pendekatan penghitungan laba maksimum yaitu sebagai berikut a. Pendekatan totalitas (Totality Approach) Pendekatan totalitas membandingkan pendapatan total dan biaya total . Pendapatan total adalah sama dengan jumlah unit output yang terjual dikalikan harga output per unit. Jika harga jual per unit output adalah , maka . Biaya total adalah sama dengan biaya tetap ditambah biaya variabel ), atau . Dalam pendekatan totalitas, biaya variabel per unit output dianggap konstan, sehingga biaya variabel adalah jumlah unit output diakalikan biaya variabel per unit. Jika biaya variabel per unit adalah maka . Dengan demikian

                F. LABA Maksimum

Tingkat produksi yang memberikan keuntungan maksimum, atau menimbulkan kerugian maksimum, dapat disidik dengan pendekatan diferensial. Karena baik penerimaaan total, maupun biaya total (C) sama-sama merupakan fungsi dari jumlah keluaran yang dihasilkan atau terjual (Q) maka dari sini dapat dibentuk suatu fungsi baru yaitu fungsi keuntungan (π). Nilai ekstrim atau optimum π dapat ditentukan dengan cara menetapkan derivatif pertamanya sama  dengan nol.

R = r (Q)              π = R – C  r (Q) – c (Q) = f (Q)

C = c (Q)             π optimum jika πꞌ  fꞌ (Q)  d / dQ = 0

Karena π = R- C                                             Berarti pada π optimum :

Karena πꞌ = Rꞌ - Cꞌ = MR - MC                πꞌ = 0  MR – MC = 0  MR = MC

πꞌ = 0 atau MR = MC πꞌꞌ < 0 atau (MR)ꞌ <

Secara grafik, kesamaan MR = MC atau kedudukan πꞌ = 0 ditunjukan perpotongan antara kurva penerimaan marjinal (MR) dan kurva biaya marjinal (MC).  Hal inisekaligus mencerminkan jarak terlebar antara kurva penerimaan total (R) dan kurva biaya total (C) akan tetapi syarat MR = MC atau πꞌ = 0 berjumlah cukup untuk mengisyaratkan keuntungan maksimum sebab jarak terlebar yang dicerminkannya mungkin merupakan selisih positif “R – C” (berarti keuntungan) atau merupakan selisih negatif  “ R - C” (berarti kerugian)

Untuk mengetahui apakah πꞌ = 0 mencerminkan keuntungan maksimum ataukah justru kerugian maksimum, perlu di uji melalui derivatif kedua dari fungsi π.

Pada gambar dibawah terlihat ada dua keadaan dimana πꞌ = 0 (MR + MC), yakni pada tingkat produksi Q₁ dan Q₃. Pada tingkat produksi Q₁ jarak terlebar antara kurva penerimaan total (R) dan kurva biaya total (C) mencerminkan selisih  negatif terbesar hal ini terjadi kerugian maksimum, sebagaimana tercermin oleh kurva π yang mencapai minimumnya di titik G.

Sedangkan pada tingkat produksi Q₃  jarak terlebar antara kurva R dan kurva C mecerminkan selisih positif terbesar. Hal ini berarti keuntungan maksimum, sebagaimana tercermin oleh kurva π yang mencapai maksimumnya dititik h. Dengan demikian syarat agar diperoleh keuntungan maksimum adalah:

πꞌ = 0 atau MR = MC πꞌꞌ < 0  atau (MR)ꞌ <(MC)

  

                                                               

Syarat pertama disebut syarat yang diperlukan (necessary condition) sedangkan syarat kedua disebut syarat yang mencukupkan (sufficient condition)

Contoh 50:

Andaikan        :           R = r (Q) = -2 Q² + 1000Q

                                                   C = c (Q) = Q₃ - 59 Q² + 1315 + 2000

Maka               : π = R - C = - Q + 57 Q² – 315 Q + 2000

Agar keuntungan maksimum : πꞌ = 0

-3 Q² + 114 Q – 315 = 0

-Q² + 114 Q – 315 = 0

(Q + 3) (Q – 35) = 0

πꞌꞌ = -6 Q + 114

jika Q = 3, πꞌꞌ = -6 (3) + 114 = 96 > 0

jika Q = 35, πꞌꞌ = -6 (3) + 114 = -96 > 0

karena πꞌꞌ < 0 untuk Q = 35, maka tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan maksimum adalah Q = 35 unit. Adapun besarnya keuntungan maksimum yaitu:

               π = - (35)³ + 57 (35)² – 315 (35) – 2000 = 13.925

G.    Penerimaan Pajak maksimum

Dalam saksi titik ekstrim fungsi parabolik kita telah mempelajari bahwa jika penawaran suatu barang ditunjukan oleh persamaan P = a + bQ, dan perintah mengenakan pajak spesifik sebesar t atas setiap unit barang yang dijual maka:

Penawaran sesudah pajak                   : P = a bQ + t

Fungsi pajak perunit                           : t = P – a bQ

Persamaan pajak per unit                    : t = c – dQ – a bQ = (c – a) – (d + b) Q

Total pajak yang diterima pemerintah : T = t (Q) = (c – a) Q – (d +b) Q2 T maksimum jika Tꞌ = 0 yakni pada Q = (c – a)/2(d +b)

sesudah pengenaan pajak                    : T = t.Q = (c – a) Q – (d +b) Q

berdasrkan bentuk persamaan terakhir yang kuadrat parabolik ini, kita dapat menentukan pada tingkat keterjualan berapa unit barang (Q) pemerintah akan memperoleh penerimaan maksimum dari rencana pajak spesipik yang akan dikenakannya. 

G ditnjukan oleh persamaan P = 15 – Q sedangkan penawaran

Contoh: Jika permintaan akan suatu barang ditunjukan oleh persamaan P = 15 – Q, sedangkan penawarannya P = 3 – 0,5 Q. Pemerintahan bermaksud mengenakan pajak spesifik sebesar t atas  setiap unit barang dijual. Jika penerimaan pajak aas barang ini diinginkan maksimum, berapa besarnya pajak per unit yang harus ditetapkan? Berapa besarnya penerimaan pajak maksimum tersebut?

Jawab:  Penawaran sesudah pajak      : P = 3 + 0,5Q + t

                Pajak per unit                       : t = P  - 3 – 0,5

Menurut fungsi permintaan : P = 12 – Q maka t = 12 – 15Q.

              Pajak total                            : T = t. Q = 12Q – 1,5Q²

                                                              Tꞌ = dT/dQ = 12 – 3Q

                                                              Tꞌ = 0 → Q = 4

                                                              Q =4 t = 12 – 1,5(4) = 6

                                                              T = t.Q = 6(4) = 24

Persamaan penawaran sesudah pajak  : P = 3 + 0,5Q + 6

                                                                 = 9 + 0,5Q

Harga keseimbangan pasar adalah 11. Jadi T akan maksimum jika t = 6, dengan T_maks = 24

H. PENGARU PAJAK DALAM PASAR MONOPOLI

Pajak merupakan sumber penting pendapatan negara, dapat ebrfungsi segabai instrumen kendali atas keuntungan “berlebihan” yang dapat dikeduk oleh penunggal (monopolist)

Penerimaan total         : R = r(Q)

                                                Keuntungan : π = R –C

Biaya otal                    : C = c(Q)                              π = r(Q) – c (Q)

Biaya total sedudah pajak       : C = c (Q) + t(Q)

Keuntungan sesudah pengenaan pajak           :  π = r (Q) – c(Q) – t(Q)

Pajak perunit = t

Pajak total       : T = t.Q = f (t, Q) Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui model pengendalian persediaan atau dikenal dengan istilah Economic Order Quantity (jumlah pemesanan ekonomis) dan dapat diterapkan pada sistem produksi di PD Handi Meubel Cirebon. Pengendalian persediaan sangat penting diterapkan oleh suatu perusahaan karena dapat meminimalkan biaya persediaan. PD Handi Meubel telah melakukan perhitungan dengan rumus umum total biaya persediaan. Lebih lanjut, peneliti mencoba memberikan model perhitungan dengan model Economic Order Quantity (EOQ) yang dapat memberikan keputusan tentang jumlah pemesanan. Hasil pengendalian persediaan pada PD Handi Meubel belum ekonomis karena besar biaya pemesanan (annual ordering cost) dan biaya penyimpanan (annual holding cost) tidak relatif sama. Hal ini menyebabkan total persediaan tidak mampu mencapai nilai minimum. Penerapan model EOQ dapat memberikan solusi kepada PD Handi Meubel karena total persediaan dari perusahaan tersebut dapat mencapai nilai minimum. Ketentuan pemesanan diperoleh dari hasil perhitungan menggunakan persamaan model EOQ yang dikenal dengan istilah Wilson Formula. Tujuan jangka panjang dari penelitian ini bagi prodi pendidikan matematika yaitu sebagai desain bahan ajar pada materi atau pokok bahasan yang ada di dalam mata kuliah Kalkulus Diferensial yang berbasis pada model pengembangan bahan ajar tertentu sehingga diharapkan dapat membantu mahasiswa dalam memahami konsep-konsep esensial yang ada di dalam mata kuliah tersebut, sehingga kebutuhan belajar mahasiswa dapat terpenuhi dengan baik. Target luaran yang diharapkan terlaksana setelah penelitian ini dilakukan yaitu mempublikasikan hasil penelitian ini melalui publikasi ilmiah, prosiding, dan pengayaan bahan ajar. Dengan demikian diharapkan hasil penelitian ini dapat bermanfaat secara luas bagi perusahaan dan mahasiswa. Metode penelitian yang digunakan adalah metode observasi dengan sistem wawancara terhadap kepala produksi di PD Handi Meubel Cirebon.