FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA

Pertemuan 8

BAB VIII

FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA

A.    FUNGSI EKSPONEN

Fungsi eksponensial adalah salah satu fungsi yang paling penting dalam matematika. Biasanya, fungsi ini ditulis dengan notasi exp(x) atau ex, di mana e adalah basis logaritma natural yang kira- kira sama dengan 2.7182818.

Sebagai fungsi variabel bilangan real x, grafik e^x selalu positif (berada di atas sumbu x) dan nilainya bertambah (dilihat dari kiri ke kanan). Grafiknya tidak men ari yentuh sumbu x, namun mendekati sumbu tersebut secara asimptotik. Invers dari fungsi ini, logaritma natural, atau ln(x), didefinisikan untuk nilai xyang positif.

B.     Fungsi Logaritma

Setiap fungsi eksponensial f(x) = a^x, dengan a > 0 dan a ≠ 1, merupakan fungsi korespondensi satu-satu. Hal ini dapat dilihat dengan menggunakan Uji Garis Horizontal (lihat Gambar 1 untuk kasus a > 1). Oleh karena itu fungsi eksponensial memiliki fungsi invers. Fungsi invers tersebut dinamakan fungsi logaritma dengan basis a dan dinotasikan dengan log_a.

Fungsi invers f^–1 didefinisikan sebagai

Definisi ini akan membawa kita kepada definisi fungsi logaritma berikut ini.

---

Definisi Fungsi Logaritma

Misalkan a adalah bilangan positif dengan a ≠ 1. Fungsi logaritma dengan basis a, yang dinotasikan dengan log_a, didefinisikan dengan

Sehingga log_a x merupakan pangkat dari a untuk menjadi x.

Ketika kita menggunakan definisi logaritma untuk mengganti bentuk logaritma log_a x = ymenjadi bentuk eksponensial a^y = x, atau sebaliknya, perhatikan bahwa dalam kedua bentuk ini, basisnya tetap sama.

Contoh 1: Bentuk Logaritma dan Eksponensial

Bentuk logaritma dan eksponensial merupakan persamaan-persamaan yang ekuivalen: Jika bentuk yang satu benar, maka bentuk yang lainnya juga benar. Sehingga kita dapat mengubah bentuk logaritma menjadi bentuk eksponensial, atau sebaliknya, seperti ilustrasi berikut.

C.     Bunga Majemuk

  Bunga majemuk (commpoud interest) adalah bunga yang sudah dihasilkan ditambahkan ke uang pokok pada akhir tiap-tiap periode pembayaran bunga dan kemudian ikut dipakai sebagai dasar untuk menentukan besarnya bunga pada periode berikutnya. Bunga majemuk dihitung berdasarkan saldo terakhir setelah pembungaan. Jumlah bunga untuk setiap periode pembungaan mengalami kenaikan disertai dengan kenaikan modal awal atau pokok pinjaman. Oleh karena itu bunga majemuk juga disebut sebagai bunga berbunga. Jika kita menyimpan modal berupa uang di bank selama periode bunga tertentu, misalnya satu tahun maka setelah satu tahun kita akan mendapatkan bunga sebesar p % kali modal yang kita bungakan. Jika bunga itu tidak kita ambil, tetapi ditambahkan pada modal awal untuk dibungakan lagi pada periode berikutnya, sehingga besarnya bunga pada setiap periode berikutnya berbeda jumlahnya (menjadi bunga berbunga), maka dikatakan modal tersebut dibungakan atas dasar bunga majemuk.

D.    Macam – Macam Bunga Majemuk

Bunga majemuk dibedakan menjadi dua, yaitu Suku bunga tetap adalah suku bunga yang tidak berubah selama jangka waktu yang diperjanjikan tidak akan berubah. suku bunga mengambang adalah suku bunga yang dapat berubah sesuai dengan tingkat suku bunga yang ditetapkan.

·         Perhitungan Bunga Majemuk

Perhitungan bunga pada periode berikutnya berdasarkan modal yang baru tersebut. Penyatuan bunga dengan modal atas dasar tahunan, semesteran, kuartalan, atau bulanan. Jangka waktu penyatuan bunga dengan modal disebut periode pengembalian atau periode bunga.

Perhitungan Majemuk dengan Tabel

Contoh soal :

Dinda menyimpan uang di bank sebesar Rp. 5.000.000,00 dengan suku bunga 10% per tahun. Hitunglah besarnya bunga majemuk dan simpanan uang di bank pada tahun ke 5.

Jadi, besarnya besarnya bunga dan simpanan uang di bank pada tahun ke-5 adalah masing-masing sebesar Rp.732.050,00 dan Rp8.052.550,00. Perhitungan Nilai Akhir Bunga Majemuk dengan Menggunakan Rumus Nilai akhir adalah nilai uang atau jumlah uang yang harus diterima atau di bayar berdasarkan lamanya pembungaan.

Rumus :

Mn = M (1+b)n

b    = jm/m

Notasi :

Mn = nilai akhir

M = nilai pokok awal

n  = jumlah periode perhitungan bunga

b  = tingkat bunga per periode perhitungan bunga

m = frekuensi perhitungan bunga

jm  = tingkat bunga nominal dengan periode perhitungan m kali per tahun

Setelah besarnya nilai akhir diperoleh, maka bunga dapat dihitung dengan cara mengurangkan nilai akhir dengan modal awal atau pokok pinjaman. Rumus diatas berarti bunga diperhitungkan di bayarkan satu kali dalam setahun. Apabila bunga diperhitungkan lebih dari sekali (misalnya m kali, masing – masing i/m per termin) dalam setahun, maka jumlah dimasa yang akan datang menjadi: m= frekuensi pembayaran bunga dalam setahun.

Suku  (1+i) dan (1+  dalam dunia bisnis dinamakan “faktor bunga majemuk” yaitusuatu bilangan lebih besar dari 1 yang dapat dipakai untuk menghitung jumlah dimasa datang dari suatu jumlah yang sekarang.

Perhitungan bunga majemuk secara tunggal.

Akhir bulan ke I, modal menjadi modal awal + bunga bulan ke I

= Rp 2.000.000 + (2 % x 2.000.000) = Rp 2.040.000

Menghitung Nilai Sekarang

Dengan cara matematis , nilai akhir dalam bunga majemuk dapat digunakan rumus :

                           n

                          J     = M ( 1 + b )            

atau

                                 n

                         Mn = M ( k + I )

Contoh soal

Garda sekarang menginvestasikan uang sebanyak Rp50.000.000 dengan tingkat bunga 24% per tahun yang dihitung bulanan

Berapa besar uang Garda bila ia hendak mengambilnya pada :

a. Akhir tahun pertama

b. Akhir tahun kedua

c. Akhir tahun ketiga

*Apabila Garda ingin uangnya menjadi Rp150.000.000 berapa lama ia harus menunggu ?

Apabila uang tersebut ia depositokan dengan bunga majemuk yang dihitung bulanan selama 3 tahun, ia akan memperoleh Rp130.000.000. Berapakah tingkat bunga yang diberikan deposito itu ?

Jawab:

Dik :      j12 = 24

b = 2%

M = Rp50.000.000

a)Jumlah uang Garda jika diambil pada :

Akhir tahun pertama (n=12)

Mn= M (1+b)n

Mn = Rp.50.000.000 (1+2%)12

Mn = Rp 63.412.089,73

b) Akhir tahun kedua  (n=24)

Mn = M (1+b)n

Mn = Rp50.000.000 (1+2%)24

Mn= Rp80.421.862,47

c) Akhir tahun ketiga (n=36)

Mn = M(1+b)n

Mn= Rp 50.000.000 (1+2%)36

Mn= Rp101.994.367,2

Bila Garda  ingin uangnya menjadi Rp150.000.000, maka ia harus menunggu selama :

n  = log Mn/M

log (1+b)

n =  log Rp150.000.000 /   Rp 50.000.000

log (1+2%)

n = 55,48 bulan

Tingkat bunga deposito

b = (Mn/ M)1/n – 1

b = (Rp130.000.000 / 50.000.000)1/36-1

B = 2,69 % atau  32,28% per tahun

Jumlah uang setelah 4 tahun
n
J = M (1 + b )                              
Bunga pertahun 24 %, bunga setiap periode ( 3 bulan) = 24 % : 4
    = 6 % (0,06)
                     16
J = 5.000.000 + (1 + 0,06) 
                         16 
   = 5.000.000 + (1,06)

E.     Fungsi Pertumbuhan

Pertumbuhan dapat diartikan sebagai perubahan kuantitatif pada materiil sesuatu sebagai akibat dari adanya pengaruh lingkungan. Perubahan kuantitatif yang dimaksud dapat berupa pembesaran atau penambahan dari tidak ada menjadi ada, dari kecil menjadi besar.