BARISAN DAN DERET

Pertemuan 9

BAB IX

BARISAN DAN DERET

A.      BARISAN & DERET ARITMETIKA

Barisan adalah kumpulan objek-obejek yang disusun menurut pola tertentu. Objek pertama dinamakan suku pertama, objek kedua dinamakan suku kedua, objek ketiga dinamakan suku ketiga dan seterusnya sampai objek ke-n dinamakan suku ke-n atau Un. Jika objek-objek tersebut berupa bilangan, maka bentuk penjumlahan dari objek-objek tersebut sampai n suku dinamakan deret.
Barisan aritmatika adalah suatu barisan angka-angka dimana U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3= … = Un – Un–1 = beda (merupakan angka yang tetap)
Sehingga :
(1) 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35 adalah barisan aritmatika dengan beda 4
(2) 63, 58, 53, 48, … , 3 adalah barisan aritmatika dengan beda -5
(3) 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + … + 50 adalah deret aritmatika dengan beda 3
(4) 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + … adalah deret aritmatika tak hingga dengan beda 2
Jika suku pertama suatu barisan aritmatika dinamakan a, maka diperoleh:

Jadi suku ke-n barisan aritmatika dirumuskan :
Un = a + (n – 1)b
Sebagai contoh diketahui barisan : 3, 7, 11, 15, 19, 23, …
Maka suku ke-6 dapat ditentukan dengan rumus :
U6 = a + (6 – 1)b = a + (6)b = 3 + (6)4 = 27

Untuk menentukan rumus jumlah sampai suku ke-n, dapat ditentukan dengan cara:

Sn = ½ n (a + Un)

Sn = ½ n [2a+(n+1)b]

Sebagai contoh diketahui barisan : 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, …
Maka suku ke-6 dapat ditentukan dengan rumus :

S6 = ½ 6 (a + U6) = ½ 6 (3 + 27) = 90

Atau S6 = ½ 6 [2a+(6+1)b] = ½ 6 [2 . 3 + (8)4] = 90

Jika suatu barisasn aritmatika diketahui n ganjil, maka suku tengah dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut :
Ut = ½ (a + Un)
Sebagai contoh diketahui barisan : 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, …
Jika barisan tersebut diteruskan sampai 15 suku, maka suku tengahnya dapat ditentukan dengan rumus
Ut = ½ (a + Un) = ½ [a + U15] = ½ [3 + (3 + (15 – 1)4)] = ½[6 + 56] = 31

Selanjutnya kita juga dapat merumuskan hubungan antara Un dan Sn , yakni :
Un = Sn – Sn–1

Untuk lebih memantapkan pemahaman konsep di atas ikutilah contoh soal berikut ini:

1. Diketahui barisan aritmatika 2, 7, 12, 17, 22, … Tentukanlah suku ke 15
Jawab
 a = 2
 b = 5
 n = 15
maka
U15 = a + (15 – 1)b
U15  = 2 + (14)5
U15  = 2 + 70
U15  = 72

2. Diketahui deret aritmatika 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + … , tentukanlah Jumlah sampai 13 suku pertama
Jawab
Diketahui 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + …
Maka
a = 4
b = 3
n = 13
Sehingga:
S13 = ½ (13) [2a+(6+1)b] = ½ (13) [2 . 4 + (13)3] = ½ (13) [44] = 286

a.       BARISAN & DERET GEOMETRIK

Jika U1 , U2 , U3 , U4 , … , Un adalah suku-suku dari suatu barisan, dimana nilai perbandingan

Sehingga :
(1) 2, 4, 8, 16, 32, 64, … adalah barisan geometri dengan rasio 2
(2) 96, 48, 24, 12, 6, … adalah barisan geometri dengan rasio 1/2
(3) 1 +5 + 25 + 125 + 625 + … adalah deret geometri dengan rasio 5
(4) 1– 3 + 9 – 27 + 81 – 243 + … adalah deret geometri dengan rasio –3

Jika suku pertama suatu barisan geometri dinamakan a, dan rasionya r, maka

suku ke-n barisan aritmatika dirumuskan : Un = ar^n-1

Jika suatu barisan geometri mempunyai suku pertama a dan ratio r, maka Jumlah sampai n suku pertama (Sn) dapat dirumuskan:

Jika r = 1 maka berlaku :
Sn = a + a + a + a + a + a + a + … + a (a sebanyak n suku)

Sn = an

Jika banyaknya suku-suku pada barisan geometri berjumlah ganjil ( n ganjil), maka suku tengah adalah suku ke n = ½ (n + 1). Sehingga rumus suku tengah dapat ditentukan sebagai berikut

Selanjutnya kita juga dapat merumuskan hubungan antara Un dan Sn , yakni:

Un = Sn – Sn–1

Untuk lebih memantapkan pemahaman konsep di atas ikutilah contoh soal berikut ini:

01. Tentukanlah suku ke 12 dari barisan 32, 16, 8, 4, ….

Jawab

02. Tentukanlah hasil dari 2 + 4 + 8 + … + 128

Jawab